编者按：无论有没有去过赌场，相信大多数人都不会对老虎机感到陌生。作为赌场里最常见的娱乐设备，老虎机不仅在现实中广受人们欢迎，它也频繁出现在电视电影乃至动画片中，连一些常见的APP里都有它的身影。

　　往机器里投入硬币后，玩家需要拉下拉把转动玻璃框中的图案，如果三个图案一致，玩家能获得所有累积奖金；如果不一致，投入的硬币就会被吞入累积奖金池。这个问题看似简单，但很多人也许都忽视了，其实它和围棋、游戏一样，也是个强化学习问题。

　　首先，我们要明确一点——老虎机问题是表格型解决方案工具的一种。之所以这么说，是因为我们可以把所有可能的状态放进一个表格中，然后让表格告诉我们需要了解的问题状态，继而为解决问题找出切实的解决方案。

　　假设我们有一台K臂老虎机，每根拉杆都能提供固定的一定数额的金钱，一次只能拉下一根拉杆，但我们不知道它们的具体回报是多少。在这个情景中，k根拉杆可以被视为k种不同的动作（action），拉下拉杆的总次数T是我们的总timestep。整个任务的目标是实现收益的最大化。

　　设在第次拉下拉杆时，我们采取的动作是，当时获得的回报是。那么对于任意动作，它的动作值（value）是：

　　把上面这个句子再读三四遍，你觉得它行得通吗？如果我们事先已经知道拉下这个拉杆的最大收益是多少，那出于贪婪的目的，我们肯定每次都会选最好的动作，然后使最终回报最大化。但在强化学习问题中，贪婪算法并不一定等同于最优策略，这一步的贪婪可能会对下一步产生负面影响。

　　注：上文中的回报（reward）和动作值（value）不是同一个概念。回报指的是执行动作后的当场回报，动作值是一个长期的回报。如果你吸毒了，一小时内你很high，回报很高，但长期来看，你获得的动作值就很可怕了。需要注意的是，因为老虎机只需要一个动作，所以这里的不是未来回报之和，只是期望回报，它和其他地方的也不一样（虽然有滥用符号之嫌，但还是请多包涵啦）。

　　上述等式看起来好像有什么说法，但它其实很简单——选择动作时，我们获得的平均回报是多少。这个均值可以被视为的近似值，因为换几个符号，我们就能发现这就是强大数定律（SLLN）的表达式。

　　“贪婪者总是一贫如洗。”当面对巨大诱惑时，一些人会因为贪婪越过自己的底线，去吸毒，去犯罪，但他们在获得短暂快感的同时也失去了更多东西。强化学习中同样存在类似的问题，如果它是贪婪的，它会找出迄今为止最大的动作值：

　　并依据这个动作值去选择每一步动作。这样做的后果是智能体从头到尾只会选择同一套动作，而从不去尝试其他动作，在很多情况下，这样的策略并不是最优策略。

　　那么我们该怎么纠正它的贪婪？之前我们在《强化学习——蒙特卡洛方法介绍》一文中已经介绍过：对于任何时刻的执行exploration小概率，我们会有的概率会进行exploration，有的概率进行exploitation。这可以简单理解成抛硬币，除了正面和反面，它还有一个极小的立起来的概率。

　　虽然当智能体“头脑发热”时，它还是会义无反顾地贪婪，但相比贪婪策略，随机选择策略（不贪婪）的概率是。

　　导致这种现象的主要原因是动作值会随时间推移发生变化，即之前我们研究的是静态的拉杆，而不是随机的、动态的拉杆。以动作值为例，比起我们之前假设的，它更应该被表示成。

　　看起来SGD可以在这里发挥一些作用。如果它是平稳的，那收敛的概率就是100%；如果它不平稳，我们一般不希望，因为当前回报会影响当前的动作值。

　　这是一个指数平均值，它在几何上衰减之前回报的权重。设函数是第个timestep，也就是第次拉下拉杆时某个特定回报的权重。因为老虎机问题只需考虑动作，所以这个函数也可以简化成。

　　上式表示对于任何初始值，它都满足。这个条件要求保证timestep足够大，以最终克服任何初始条件或随机波动

　　这个式子表示这些timestep将“足够小以确保能收敛到一个小值”。简而言之，第二个条件保证最终timestep会变小，以保证收敛。

　　到目前为止，我们必须随机设定的初始值，它本质上是一组用于初始化的超参数。这里有个小诀窍，我们可以设初始值，其中。

　　这样之后，因为偏高，这时智能体会积极探索其他动作，当它越来越接近时，智能体就开始贪婪了。换句话说，假设我们设当前拉杆的乐观回报是3，但它实际上最高能获得的回报只有2.5，智能体尝试一次后，发现回报只有1，低于乐观值，于是它会把其他拉杆全部尝试一遍。虽然前期效率很低，但到后期，智能体已经掌握哪些拉杆会产生高值，效果就接近“贪婪”了。

　　这种方法是可行的，在某种程度上，如果时间充裕，这个过程也可以被看作是模拟退火。但从整体来看，乐观初始值前期的大量“exploration”是不必要的，它对于非平稳问题来说不是最好的答案http://www.ailulong.com

　　在机器学习系统中，Bias与Variance往往不可兼得：如果要降低模型的Bias，就一定程度上会提高模型的Variance；如果要降低Variance，Bias就会不可避免地提高。针对两者间的trade-off，下面的式子是一个很好的总结：

　　置信上限（UCB）是一个非常强大的算法，它可以用类似Bias-Variance权衡的方法来解决不同的问题。在老虎机问题中，我们可以把timestep当成假设集大小，因为随着t逐渐增加，也会逐渐增加，相应的就很难选择。

　　每选一次，不确定项就会减少，分母增加；另一方面，每一次选择了以外的动作，会增加但不会改变，不确定评估值会增加。

　　截至目前，我们一直在努力估计，但如果说这个问题还有除了行动值以外的解决方法呢？比如我们该如何学习一个动作的偏好？

　　设动作偏好为，它和回报无关，只是一个动作相对于另一个动作的重要性。那么应该符合gibbs分布（也就是机器学习的softmax分布）：

　　对于这个式子，我们该怎么基于梯度计算最大似然估计？首先，因为它是我们的变量。我们想最大化：

　　因为被包含在动作a的预期值内，它也可以被写成。现在就只剩一个问题了：等式里的是什么？坦率地说，你想它是什么它就是什么，严谨起见，我们可以把当成的平均值。